Identidades trigonométricas.
Recuerde que una identidad es una igualdad que se cumple para todo valor dentro del dominio de la función, así una identidad trigonométrica es una igualdad que se cumple para todos los valores del ángulo dentro del dominio de función dada.
Existen varios tipos de identidades trigonométricas, entre las que se destacan las identidades de senos y coseno, las reciprocas, pitagóricas e identidades pares e impares, que se pueden agrupar en el concepto de identidades fundamentales. Sin embargo cabe destacar que existen muchas otras identidades, las cuales se iran estudiando a medida que se profundice en el estudio de la trigonometría.
Las identidades más comunes en trigonometría se resumen en la siguiente tabla.
Identidades trigonométricas fundamentales.
Identidades de senos y cosenos $$\tan{u}=\frac{\sin{u}}{\cos{u}}~~~~~~~\cot{u}=\frac{\cos{u}}{\sin{u}}$$ Identidades reciprocas. \begin{align} &\sec{u}=\frac{1}{\cos{u}} ~~~~~~~~\csc{u}=\frac{1}{\sin{u}}\\ &\tan{u}=\frac{1}{\cot{u}}~~~~~~~~\cot{u}=\frac{1}{\tan{u}} \end{align} Identidades pitagóricas. \begin{align} &\sin^2{u}+\cos^2{u}=1\ \ \ \ \ \ \ \fbox{$E1$}\\ &1+\cot^2{u}=\csc^2{u}\ \ \ \ \ \ \fbox{$E2$}\\ &\tan^2{u}+1=\sec^2{u}\ \ \ \ \ \ \fbox{$E3$}\end{align} Identidades pares e impares. \begin{align} &\cos{(-u)}=\cos{u}~~~~{\rm (par)}\\ &\sin{(-u)}=-\sin{u}~~~~{\rm (impar)}\end{align}
Partiendo de estas identidades se pueden simplificar y/o demostrar un gran número de expresiones trigonométricas llamadas también identidades, mediante las estrategias siguientes.
Estrategias para demostraciónde identidades
1. Trabajar en un solo miembro de la igualdad para convertirlo en el otro.
2. Convertir uno de miembros a expresiones de senos y cosenos, usando las identidades fundamentales, realizando operaciones indicadas y simplificando si es necesario.
3. Realizar operaciones algebraicas de factores unitarios, factorización, entre otras según sea la situación, con miras a ir reescribiendo en la forma esperada.
4. Comparar los resultados obtenidos y reescribir usando nuevamente las identidades fundamentales para escribir ambos miembros de la igual forma.
Ejemplo. Comprobar si se cumple o no la identidad trigonométrica \(1=\sin^2u\tan^2u\cot^2u\csc^2u.\)
Solución: se elige convertir el segundo miembro en el primero, por considerarse más fácil demostrar que \(\sin^2u\ \tan^2u\ \cot^2u\ \csc^2u=1,\) de donde se tiene,
$$\begin{array}{l}
\sin^2u\left(\frac{\sin^2u}{\cos^2u}\right)\left(\frac{\cos^2u}{\sin^2u}\right)\left(\frac{1}{\sin^2u}\right)=1& {\rm Por\ identidades~ fundamentales.}\\
1=1& {\rm Simplificando~ l.q.q.d.}
\end{array}$$
Ejemplo 2. Comprobar si se verifica o no la identidad, $$\frac{\sin{u}}{\cos{u}-\sin{u}}=\frac{\cos{u}+\sin{u}}{\csc{u}-2\sin{u}}$$ Solución: $$\begin{array}{l} \frac{\sin{u}}{\cos{u}-\sin{u}}\left(\frac{\cos{u}+\sin{u}}{\cos{u}+\sin{u}}\right)=\frac{\cos{u}+\sin{u}}{\csc{u}-2\sin{u}}&{\rm Multiplicando\ por} \ \frac{\cos{u}+\sin{u}}{\cos{u}+\sin{u}}\\ \frac{\sin{u}(\cos{u}+\sin{u})}{\cos^2{u}-\sin^2{u}}=\frac{\cos{u}+\sin{u}}{\csc{u}-2\sin{u}}&{\rm Realizando \ operaciones.}\\ \frac{\sin{u}\left(\cos{u}+\sin{u}\right)}{1-\sin^2{u}-\sin^2{u}}=\frac{\cos{u}+\sin{u}}{\csc{u}-2\sin{u}}&{\rm Por\ ser} \cos^2{u}=1-\sin^2{u}\\ \frac{\sin{u}\left(\cos{u}+\sin{u}\right)}{1-2\sin^2{u}} =\frac{\cos{u}+\sin{u}}{\csc{u}-2\sin{u}}&{\rm Simplificando.}\\ \frac{\cos{u}+\sin{u}}{\frac{1}{\sin{u}}-2\frac{\sin^2{u}}{\sin{u}}}=\frac{\cos{u}+\sin{u}}{\csc{u}-2\sin{u}}&{\rm Dividiendo\ entre} \sin{u}\\ \frac{\cos{u}+\sin{u}}{\csc{u}-2\sin{u}}=\frac{\cos{u}+\sin{u}}{\csc{u}-2\sin{u}}&{\rm Por\ identidades\ fundamentales.}\end{array}$$
Ejemplo 3. Comprobar si se verifica o no la identidad, $$\frac{\cot{x}-\tan{x}}{\sec{x}-\csc{x}}=-(\sin{x}+\cos{x})$$ \begin{array}{l} \frac{\frac{\cos{x}}{\sin{x}}-\frac{\sin{x}}{\cos{x}}}{\frac{1}{\cos{x}}-\frac{1}{\sin{x}}}=-\left(\sin{x}+\cos{x}\right) &{\rm Por\ identidades\ fundamentales.}\\ \frac{\frac{\cos^2x-\sin^2x}{\sin{x}\cos{x}}}{\frac{\sin{x}-\cos{x}}{\sin{x\cos{x}}}}=-\left(\sin{x}+\cos{x}\right)& {\rm Realizando\ operaciones.}\\ \frac{\cos^2x-\sin^2x}{\sin{x}-\cos{x}}=-\left(\sin{x}+\cos{x}\right)&{\rm Simplificando.}\\ \frac{-(\sin{x}-\cos{x})(\cos{x}+\sin{x})}{\sin{x}-\cos{x}}=-\left(\sin{x}+\cos{x}\right)& {\rm Factorizando.}\\ -(\sin{x}+\cos{x})=-\left(\sin{x}+\cos{x}\right) & {\rm Simplificando\ l.q.q.d}\\ \end{array}
Ejemplo 4. Verificar la identidad \(\csc{x}\tan{x}-\cot{x}\sec{x}=1\)
$$\begin{array}{l} \frac{1}{\sin{x}}\frac{\sin{x}}{\cos{x}}-\frac{\cos{x}}{\sin{x}}\frac{1}{\cos{x}}=1& {\rm Por\ identidades\ fundamentales.}\\ \frac{1}{\cos{x}}-\frac{1}{\sin{x}}=1&{\rm Simplificando.}\\ \frac{\sin{x}-\cos{x}}{\sin{x}\cos{x}}=1& {\rm Realizando\ operaciones}.\end{array}$$ Como el resultado anterior es falso, dado que, $$\frac{\sin{x}-\cos{x}}{\sin{x}\cos{x}}\neq1$$ la identidad no se verifica (es falsa).